Блог
  • Категорія запису:Відповіді
  • Час читання:4 хв. читання

Що робити з дискримінантом, якщо перед ним стоїть множник 2x

Розв’язування квадратних рівнянь часто є важливою частиною шкільної програми з математики. Один з основних кроків при цьому – обчислення дискримінанта. Дискримінант дозволяє визначити, скільки розв’язків має квадратне рівняння і якими вони будуть. Але що робити, якщо у рівнянні стоїть множник 2 перед змінною x? У цій статті ми розглянемо цей випадок та дізнаємось, як правильно розрахувати дискримінант і знайти розв’язки рівняння.

Почнемо з основ. Квадратне рівняння загального вигляду має форму ax² + bx + c = 0, де a, b та c – коефіцієнти. Дискримінант для такого рівняння обчислюється за формулою D = b² – 4ac. Відзначимо, що дискримінант може бути додатнім, від’ємним або дорівнювати нулю, що впливає на кількість та природу коренів рівняння.

Тепер розглянемо випадок, коли в рівнянні присутній множник 2 перед змінною x. Наприклад, рівняння має вигляд 2x² + bx + c = 0. Тут коефіцієнт перед x² змінився, і це впливає на обчислення дискримінанта. Замість звичної формули для дискримінанта, потрібно врахувати новий коефіцієнт перед x². Це змінює наше рівняння та процедуру знаходження його коренів.

У наступних розділах ми детально розглянемо методи обчислення дискримінанта для такого рівняння, проаналізуємо різні випадки та продемонструємо приклади розв’язання задач з врахуванням множника 2 перед змінною x. Ви дізнаєтесь, як коректно застосовувати формули та уникати типових помилок при розв’язуванні таких рівнянь.

Що робити з дискримінантом, якщо стоїть 2x: Покрокова інструкція

Дискримінант є важливою частиною квадратичного рівняння виду ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0. Він дозволяє визначити кількість і тип коренів рівняння. Однак, коли у рівнянні стоїть 2x замість x, необхідно виконати додаткові кроки для розв’язання. Нижче наведено покрокову інструкцію, що допоможе вам у цьому.

Крок 1: Приведення рівняння до стандартної форми

Спочатку потрібно привести рівняння до стандартної форми ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0. Припустимо, що у нас є рівняння виду a(2x)2+b(2x)+c=0a(2x)^2 + b(2x) + c = 0a(2x)2+b(2x)+c=0. Розкриємо дужки:a(4×2)+b(2x)+c=0a(4x^2) + b(2x) + c = 0a(4×2)+b(2x)+c=0Це рівняння можна переписати як:4ax2+2bx+c=04ax^2 + 2bx + c = 04ax2+2bx+c=0

Крок 2: Визначення нових коефіцієнтів

Тепер визначимо нові коефіцієнти для рівняння:A=4aA = 4aA=4aB=2bB = 2bB=2bC=cC = cC=cТаким чином, наше рівняння перетворюється на стандартне квадратичне рівняння:Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0Ax2+Bx+C=0

Крок 3: Обчислення дискримінанта

Дискримінант квадратичного рівняння обчислюється за формулою:D=B2−4ACD = B^2 – 4ACD=B2−4ACПідставимо наші нові коефіцієнти:D=(2b)2−4(4a)(c)D = (2b)^2 – 4(4a)(c)D=(2b)2−4(4a)(c) D=4b2−16acD = 4b^2 – 16acD=4b2−16ac

Крок 4: Аналіз дискримінанта

Залежно від значення дискримінанта, можливі такі випадки:Якщо D>0D > 0D>0, рівняння має два різних дійсних корені.Якщо D=0D = 0D=0, рівняння має один дійсний корінь (подвійний).Якщо DКрок 5: Знаходження коренів

Корені рівняння обчислюються за формулами:x1=−B+D2Ax_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}x1​=2A−B+D

x2=−B−D2Ax_2 = \frac{-B – \sqrt{D}}{2A}x2​=2A−B−D​​Підставимо наші значення:x1=−(2b)+4b2−16ac2(4a)x_1 = \frac{-(2b) + \sqrt{4b^2 – 16ac}}{2(4a)}x1​=2(4a)−(2b)+4b2−16ac

x2=−(2b)−4b2−16ac2(4a)x_2 = \frac{-(2b) – \sqrt{4b^2 – 16ac}}{2(4a)}x2​=2(4a)−(2b)−4b2−16ac​​Спрощуємо:x1=−2b+2b2−4ac8a=−b+b2−4ac4ax_1 = \frac{-2b + 2\sqrt{b^2 – 4ac}}{8a} = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{4a}x1​=8a−2b+2b2−4ac​​=4a−b+b2−4ac

x2=−2b−2b2−4ac8a=−b−b2−4ac4ax_2 = \frac{-2b – 2\sqrt{b^2 – 4ac}}{8a} = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{4a}x2​=8a−2b−2b2−4ac​​=4a−b−b2−4ac​​

Висновок

Отже, якщо у рівнянні стоїть 2x, необхідно привести його до стандартної форми, визначити нові коефіцієнти, обчислити дискримінант і знайти корені за стандартними формулами. Сподіваємося, ця покрокова інструкція допоможе вам успішно розв’язати такі рівняння.

Визначення дискримінанта і його роль в квадратних рівняннях

Квадратне рівняння – це алгебраїчне рівняння другого ступеня, яке має загальний вигляд:ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0де aaa, bbb і ccc – коефіцієнти рівняння, а xxx – невідома змінна. Важливою характеристикою квадратного рівняння є дискримінант. Дискримінант (позначається як DDD або Δ\DeltaΔ) визначає кількість та тип коренів цього рівняння.Дискримінант квадратного рівняння обчислюється за формулою:D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4acРоль дискримінанта в квадратних рівняннях полягає у визначенні природи коренів рівняння. В залежності від значення дискримінанта, можливі три основні випадки:D > 0: Рівняння має два різних дійсних корені. Це означає, що парабола перетинає вісь xxx у двох точках.D = 0: Рівняння має один (подвійний) дійсний корінь. У цьому випадку парабола торкається осі xxx в одній точці.D < 0: Рівняння не має дійсних коренів. Парабола не перетинає вісь xxx і всі корені є комплексними числами.Таким чином, дискримінант відіграє ключову роль у розв'язанні квадратних рівнянь, оскільки дозволяє визначити кількість та тип коренів без необхідності їх обчислення.

Основні властивості дискримінанта при множнику 2x

Дискримінант – це величина, що визначається для квадратних рівнянь і дозволяє встановити кількість та тип коренів цього рівняння. В загальному вигляді, дискримінант квадратного рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 обчислюється за формулою D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4ac.Коли в квадратному рівнянні з’являється множник 2x, його структура змінюється. Розглянемо рівняння вигляду 2x(ax+b)+c=02x(ax + b) + c = 02x(ax+b)+c=0, яке можна розписати як 2ax2+2bx+c=02ax^2 + 2bx + c = 02ax2+2bx+c=0. В цьому випадку ми маємо коефіцієнти a′=2aa’ = 2aa′=2a, b′=2bb’ = 2bb′=2b і c′=cc’ = cc′=c.Основні властивості дискримінанта при множнику 2x:Зміна коефіцієнтів: У порівнянні зі стандартною формою квадратного рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0, множник 2x впливає на коефіцієнти рівняння, збільшуючи їх відповідно в 2 рази для aaa та bbb.Формула для дискримінанта: Для нового рівняння 2ax2+2bx+c=02ax^2 + 2bx + c = 02ax2+2bx+c=0 дискримінант обчислюється за тією ж формулою, але з врахуванням нових коефіцієнтів:D′=(2b)2−4(2a)c=4b2−8acD’ = (2b)^2 – 4(2a)c = 4b^2 – 8acD′=(2b)2−4(2a)c=4b2−8acЯк видно, дискримінант рівняння з множником 2x вдвічі більше дискримінанта рівняння без цього множника:D′=2DD’ = 2DD′=2Dде DDD – дискримінант для рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0.Кількість коренів: Оскільки дискримінант визначає кількість коренів квадратного рівняння, збільшення його значення на 2 не змінює кількість коренів, але може впливати на їхні значення. Якщо дискримінант додатний (D > 0), рівняння має два різних дійсних корені; якщо дискримінант нульовий (D = 0), рівняння має один (подвійний) дійсний корінь; якщо дискримінант від’ємний (D < 0), рівняння не має дійсних коренів.Значення коренів: Корені рівняння з множником 2x можна знайти за формулою:x1,2=−2b±4b2−8ac4a=−b±b2−2ac2ax_{1,2} = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 8ac}}{4a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 2ac}}{2a}x1,2​=4a−2b±4b2−8ac​​=2a−b±b2−2ac​​Таким чином, корені для рівняння з множником 2x аналогічні кореням звичайного рівняння, але з урахуванням зміни коефіцієнтів.Розуміння цих властивостей дозволяє правильно обчислювати дискримінант та аналізувати корені рівняння, коли є множник 2x. Це важливо при вирішенні різних математичних задач і при застосуванні в інших галузях, де використовуються квадратні рівняння.

Як розрахувати дискримінант для рівняння з множником 2x

Розв’язування квадратних рівнянь є важливою частиною шкільного курсу алгебри. У процесі вирішення таких рівнянь ми часто стикаємося з необхідністю обчислення дискримінанта. Але що робити, якщо у рівнянні присутній множник 2x? Розглянемо це питання докладніше.Класичне квадратне рівняння має вигляд:ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0де aaa, bbb, і ccc – це коефіцієнти рівняння. Дискримінант для такого рівняння обчислюється за формулою:D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4acАле якщо у вашому рівнянні стоїть множник 2x, наприклад, у такому вигляді:2ax2+2bx+2c=02ax^2 + 2bx + 2c = 02ax2+2bx+2c=0спочатку можна спростити рівняння, поділивши всі його члени на 2:ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0Тепер ми отримали стандартне квадратне рівняння, для якого можемо використовувати ту ж формулу для обчислення дискримінанта:D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4acОтже, у разі наявності множника 2x у квадратному рівнянні, перший крок – це спрощення рівняння шляхом поділу на спільний множник. Після цього дискримінант розраховується за звичайною формулою. Цей підхід допоможе швидко і правильно обчислити дискримінант, що, у свою чергу, дозволить визначити кількість і тип коренів квадратного рівняння.

Аналіз результатів: Як інтерпретувати значення дискримінанта

Дискримінант квадратичного рівняння є важливим показником, який дозволяє визначити кількість і тип коренів цього рівняння. Якщо у вас є квадратичне рівняння виду ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0, дискримінант обчислюється за формулою:D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4acРозглянемо, як інтерпретувати значення дискримінанта для різних випадків:Дискримінант більше нуля (D > 0):

Якщо дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два різних дійсних корені. Це означає, що парабола перетинає вісь абсцис у двох різних точках. Корені рівняння можна знайти за формулами:x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}x1​=2a−b+D

x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b – \sqrt{D}}{2a}x2​=2a−b−D​​Дискримінант дорівнює нулю (D = 0):

Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння має один дійсний корінь, або, як його ще називають, подвоєний корінь. Це означає, що парабола торкається осі абсцис в одній точці. Корінь рівняння в цьому випадку обчислюється за формулою:x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​Дискримінант менше нуля (D < 0):

Якщо дискримінант менше нуля, то квадратне рівняння не має дійсних коренів. У цьому випадку парабола не перетинає і не торкається осі абсцис. Корені будуть комплексними числами, і їх можна виразити у вигляді:x1=−b+i∣D∣2ax_1 = \frac}{2a}x1​=2a−b+i∣D∣

x2=−b−i∣D∣2ax_2 = \frac-b – i\sqrt{}{2a}x2​=2a−b−i∣D∣​​де iii – уявна одиниця.Розуміння значення дискримінанта допомагає не лише визначити кількість коренів квадратного рівняння, але й їхню природу (дійсні чи комплексні). Це є основним кроком в аналізі та розв’язанні квадратичних рівнянь у математиці.

Приклади розв’язання квадратних рівнянь з множником 2x

Розглянемо кілька прикладів розв’язання квадратних рівнянь, в яких присутній множник 2x. Зазвичай, наявність множника не змінює основних принципів розв’язання рівняння, але потребує уважності при обчисленні дискримінанта та коренів.

Під час роботи з такими рівняннями важливо правильно спрощувати вирази та обчислювати дискримінант, щоб знайти точні значення коренів рівняння. Розглянемо кілька типових прикладів.

Приклад 1: 2×2 + 4x + 2 = 0

  • Крок 1: Знайдемо коефіцієнти: a = 2, b = 4, c = 2.
  • Крок 2: Обчислимо дискримінант: D = b2 – 4ac = 42 – 4 * 2 * 2 = 16 – 16 = 0.
  • Крок 3: Знайдемо корінь рівняння: x = -b / (2a) = -4 / (2 * 2) = -1.

Отже, рівняння 2×2 + 4x + 2 = 0 має один корінь: x = -1.

Приклад 2: 2×2 – 6x + 4 = 0

  • Крок 1: Знайдемо коефіцієнти: a = 2, b = -6, c = 4.
  • Крок 2: Обчислимо дискримінант: D = b2 – 4ac = (-6)2 – 4 * 2 * 4 = 36 – 32 = 4.
  • Крок 3: Знайдемо корені рівняння:
    • x1 = (-b + √D) / (2a) = (6 + 2) / 4 = 8 / 4 = 2.
    • x2 = (-b – √D) / (2a) = (6 – 2) / 4 = 4 / 4 = 1.

Таким чином, рівняння 2×2 – 6x + 4 = 0 має два корені: x = 2 та x = 1.

Підсумок

При розв’язанні квадратних рівнянь з множником 2x, важливо пам’ятати про основні етапи обчислення: визначення коефіцієнтів, обчислення дискримінанта та знаходження коренів. Правильний підхід до кожного з цих етапів дозволить успішно розв’язати будь-яке квадратне рівняння, навіть якщо в ньому є множник 2x.

Запам’ятайте, що дискримінант є ключовим елементом, який допомагає визначити кількість коренів рівняння та їх точні значення. Практика з різними прикладами допоможе вам впевнено розв’язувати квадратні рівняння будь-якої складності.