Що робити, коли дискримінант дорівнює нулю
Коли вивчаєш квадратні рівняння, одним з важливих аспектів є розуміння ролі дискримінанту. Дискримінант рівняння другого ступеня дозволяє визначити природу його коренів. У випадку, коли дискримінант дорівнює нулю, рівняння має особливу властивість, яка суттєво впливає на його розв’язання.
Дискримінант рівняння другого ступеня визначається як вираз b² – 4ac, де a, b, і c – коефіцієнти квадратного рівняння ax² + bx + c = 0. Якщо значення дискримінанту дорівнює нулю, це вказує на те, що рівняння має один дубльований корінь, або, іншими словами, є лише один розв’язок, який повторюється.
У такій ситуації важливо знати, як правильно знаходити корінь та які його властивості. У нашій статті ми розглянемо, як саме це зробити, та які особливості має рівняння з нульовим дискримінантом. Це допоможе вам краще зрозуміти поведінку квадратних рівнянь і впевнено їх вирішувати.
Що робити, коли дискримінант дорівнює нулю: основні кроки
Коли дискримінант квадратичного рівняння дорівнює нулю, це свідчить про те, що рівняння має один єдиний корінь, який також називають подвоєним коренем. У таких випадках розв’язання рівняння має свої особливості. Ось основні кроки, які потрібно виконати:Перевірте дискримінантПереконайтеся, що дискримінант (D) рівний нулю. Дискримінант квадратичного рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 обчислюється за формулою:D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4acЯкщо D=0D = 0D=0, це означає, що рівняння має один подвоєний корінь.Визначте корінь рівнянняВикористовуйте формулу для знаходження кореня, яка в цьому випадку спрощується до:x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−bЦе єдиний корінь, який повторюється в рівнянні.Перевірте розв’язокПідставте знайдений корінь назад у рівняння, щоб переконатися, що він задовольняє рівняння:a(−b2a)2+b(−b2a)+c=0a \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 + b \left(\frac{-b}{2a}\right) + c = 0a(2a−b)2+b(2a−b)+c=0Це підтвердить, що корінь розрахований правильно.Аналізуйте графічноГрафік квадратичної функції y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c має дотик до осі x в одній точці, якщо дискримінант дорівнює нулю. Це означає, що парабола торкається осі x в одній точці, що відповідає знайденому кореню.Розгляньте можливі додаткові випадкиПереконайтеся, що рівняння задане правильно і немає помилок у розрахунках. Якщо в рівнянні є додаткові умови чи обмеження, розгляньте їх у контексті отриманого кореня.Зазвичай, коли дискримінант дорівнює нулю, розв’язання стає простішим, оскільки у вас є один єдиний корінь. Важливо переконатися, що цей корінь правильно обчислений і відповідає всім умовам рівняння.
Як знайти корені квадратного рівняння за дискримінанту, що дорівнює нулю
Квадратне рівняння загального вигляду має форму:ax² + bx + c = 0де a, b і c – це коефіцієнти рівняння. Для знаходження коренів такого рівняння використовують дискримінант (D), який розраховується за формулою:D = b² – 4acЗначення дискримінанту відіграє ключову роль у визначенні природи коренів рівняння:Якщо D > 0, рівняння має два різних дійсних корені.Якщо D = 0, рівняння має один дійсний корінь (задвоєний корінь).Якщо D < 0, рівняння не має дійсних коренів, а має два комплексних корені.У випадку, коли дискримінант дорівнює нулю (D = 0), це означає, що квадратне рівняння має лише один дійсний корінь, який повторюється. Щоб знайти цей корінь, скористайтеся наступною формулою:x = -b / (2a)Ось детальніше пояснення:Обчисліть дискримінант (D) для рівняння.Якщо D = 0, підставте значення коефіцієнтів a і b у формулу x = -b / (2a).В результаті ви отримаєте один корінь, який є розв’язком вашого квадратного рівняння.Наприклад, розглянемо квадратне рівняння:2x² – 4x + 2 = 0Спочатку знайдемо дискримінант:D = (-4)² – 4 * 2 * 2 = 16 – 16 = 0Оскільки D = 0, використовуємо формулу для знаходження кореня:x = -(-4) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1Отже, корінь рівняння 2x² – 4x + 2 = 0 дорівнює 1.
Практичні приклади вирішення рівнянь з дискримінантом, що дорівнює нулю
Коли дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, рівняння має один подвоєний корінь. Це означає, що графік квадратичної функції торкається осі X в одній точці. Розглянемо кілька практичних прикладів для кращого розуміння цієї ситуації.
Приклад 1
Розглянемо рівняння:
x2−4x+4=0x^2 – 4x + 4 = 0x2−4x+4=0
Щоб перевірити, чи дискримінант рівний нулю, використаємо формулу дискримінанта:
D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4ac
де a=1a = 1a=1, b=−4b = -4b=−4, c=4c = 4c=4. Підставляючи значення, отримуємо:
D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, рівняння має один подвоєний корінь. Знайдемо його за допомогою формули кореня:
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b
Підставляючи значення, маємо:
x=−(−4)2⋅1=42=2x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2x=2⋅1−(−4)=24=2
Отже, єдиний корінь рівняння – x=2x = 2x=2. Перевіримо це, підставивши корінь назад в рівняння:
(2)2−4⋅2+4=4−8+4=0(2)^2 – 4 \cdot 2 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0(2)2−4⋅2+4=4−8+4=0
Рівняння справджується, отже, корінь правильний.
Приклад 2
Розглянемо інше рівняння:
2×2−8x+8=02x^2 – 8x + 8 = 02×2−8x+8=0
Знову обчислимо дискримінант:
D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4ac
де a=2a = 2a=2, b=−8b = -8b=−8, c=8c = 8c=8. Підставляючи значення, отримуємо:
D=(−8)2−4⋅2⋅8=64−64=0D = (-8)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 8 = 64 – 64 = 0D=(−8)2−4⋅2⋅8=64−64=0
Дискримінант дорівнює нулю, отже, рівняння має один подвоєний корінь. Знайдемо його за допомогою формули кореня:
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b
Підставляючи значення, маємо:
x=−(−8)2⋅2=84=2x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2x=2⋅2−(−8)=48=2
Отже, єдиний корінь рівняння – x=2x = 2x=2. Перевіримо це, підставивши корінь назад в рівняння:
2⋅(2)2−8⋅2+8=8−16+8=02 \cdot (2)^2 – 8 \cdot 2 + 8 = 8 – 16 + 8 = 02⋅(2)2−8⋅2+8=8−16+8=0
Рівняння справджується, отже, корінь правильний.
Висновок
Коли дискримінант рівняння дорівнює нулю, ми завжди отримаємо один подвоєний корінь. Це можна перевірити, підставивши знайдене значення назад в рівняння і перевіривши, чи справджується рівняння. Важливо пам’ятати, що такі рівняння мають лише один унікальний корінь, який повторюється.